Pythagoras is verantwoordelijk voor een groot aantal inzichten, maar voor deze blogserie, beperken we ons tot zijn studie naar de tonen en harmonieën in monochords. Als je een idee wilt hebben hoe zo’n instrument klinkt, is hier een voorbeeld van een hedendaagse monochord.
Afbeelding 1. Schematische weergave van een monochord.
De monochord is geschetst in afbeelding 1. Pythagoras heeft waarschijnlijk monochords met meerdere snaren gebruikt. De snaren worden bevestigd aan haak P1, en over de vaste kammen A en B gevoerd naar katrol P2. Met de massa aan haak H wordt de snaar op spanning gebracht. Door de vrije kam C te bewegen kan de lengte van de vrij trillende snaren (vanaf nu de snaarlengte) gevarieerd worden. Een klankkast wordt gebruikt om het geluid te versterken.
Pythagoras ontdekte een aantal interessante feiten met zijn monochord. De toonhoogte varieerde zowel met de snaarlengte als met de massa aan de haak. Maar de effecten van de massa en de snaarlengte op de toonhoogte waren verschillend: Een verdubbeling van de massa had minder effect op de toonhoogte dan het halveren van de snaarlengte. Om de toonhoogte ten gevolge van de snaarlengtehalvering te repoduceren, moest er bij snaren met de oorspronkeljke lengte 4 keer zoveel massa aan haak H gehangen worden.
Daarnaast ontdekte Pythagoras dat volle plezierige klanken ontstonden als de snaarlengten zich tot elkaar verhielden als de breuken van natuurlijke getallen. 1:2, 1:3, 2:3, etc. Dit wordt vaak aangehaald als illustratie van de sterk mathematische inslag van Pythagoras. Hij was ervan overtuigd dat de natuurlijke fenomenen een reflectie waren van een diepe onderliggende mathematische structuur. Relevant voor deze blogserie is echter het inzicht dat complexe klanbeelden (harmonieën) samengesteld kunnen worden uit eenvoudige basistonen.
In de mathematisch-mystische denkwereld van Pythagoras laat zich dit concept makkelijk generaliseren. Hij postuleert een wereldbeeld waarin de hemellichamen zich in cirkelvormige banen bewegen om een centraal vuur. Dit is -dus- geen geo-centrisch wereldbeeld. De radii van deze banen verhouden zich als de tonen in het octaaf. Door hun beweging brengen de hemellichamen muziek voort, een “harmonie der sferen.” Het heelal is dus een geordend geheel, een “kosmos.” We komen hier later op terug in een heel andere context. Neem er overigens ook nota van dat volgens Pythagoras de zon niet het centrale vuur is, en dat voor de Grieken planeten objecten zijn die een baan beschrijven ten opzichte van de vaste sterren: Maan, Mercurius, Venus, Zon, Mars, Jupiter, en Saturnus.
Hoe dan ook, het Griekse wereldbeeld dat later dominant zou worden is geocentrisch, waarin het universum en de planeten banen beschrijven om de stationaire Aarde. Maar wat voor banen zouden dat dan moeten zijn? Plato stelt voor dat de schijnbaar chaotische beweging van de planeten kan worden beschouwd als een combinatie van uniforme cirkelbanen rond een gemeenschappelijk centrum, waarin de aarde zich bevindt. Dit concept wordt verder uitgewerkt in het wereldbeeld van Aristoteles en Eudoxos van Knidos. Rond de centraal gelegen bolvormige aarde bevinden zich concentrische spheren, die ondermeer de planeten en de vaste sterren bevatten. In fig. 2 wordt het geocentrische wereldbeeld van Aristoteles gevisualiseerd.
Afbeelding 2. Schets van Aristoteles geocentrische wereldbeeld. De vaste sterren worden gedacht op de buitenste sfeer, de planeten bewegen zich rond de bolvorminge aarde die zich in het middelpunt bevindt.
Er was echter een ruime hoeveelheid aan precieze experimentele waarnemingen beschikbaar, ondermeer vergaard door Babyloniers. In De Mechanisering van het Wereldbeeld beschrijft Dijksterhuis prachtig hoe het aanvankelijk eenvoudige, en daarom aantrekkelijke beeld steeds verder moet worden verfijnd en uitgebreid, en hoe extra correcties moeten worden aangebracht om consistent met de experimentele data te blijven. Het systeem van de concentrische spheren begon met 12 spheren, en ontwikkelde zich via 27 en 33 tot uiteindelijk 55 spheren van wentellingen om assen door de Aarde.
Een speciale waarneming betreft de zgn. retrograde banen van de planeten. In fig. 3 wordt een voorbeeld van de retrograde baan van Mars -natuurlijk zoals gezien vanaf de Aarde- getoond.
Afbeelding 3. Retrograde baan van Mars zoals gezien vanaf de Aarde.
Animatie retrograde baan van Mars zoals gezien van de Aarde. Iedere 24 uur wordt een punt gezet, waarmee gecorrigeerd wordt voor de periode van de Aardrotatie.
De retrograde baan heeft niets met de draaiing van de aarde om haar as te maken. Bovenstaande animatie toont de retrograde baan van Mars en logt intervals van 24 uur, zodat gecorrigeerd wordt voor de periode van de aardrotatie.
De retrograde banen zijn niet in overeenstemming te krijgen met eenparige cirkelbewegingen met assen door de aarde, en dit wereldbeeld is dus onhoudbaar. Het was het genie van Ptolomeus van Alexandria en Hipparchos van Nicaea om af te stappen van het concept van de concentrische cirkels. Zij stonden eenparige cirkelbewegingen toe waarvan de middelpunten niet met de Aarde samenvielen, maar iets verschoven waren ten opzichte van de Aarde, de zgn. excenters, of zich zelfs op de cirkelbanen rond de aarde bevonden, de zgn epicycels. In deze animatie wordt het Ptolomeische wereldbeeld dynamisch getoond. Direct is nu in te zien hoe met behulp van epicycles, de retrograde baan geherconstrueerd kan worden.
Door -uit metafysische overwegingen- vast te houden aan de eenparige cirkelbewegingen, en de complete bewegingen van planeten te beschrijven als de som van een aantal cirkelbewegingen deden de Grieken iets heel opmerkelijks, iets GENIAALS. Ze ontleden de complexe bewegingen in een reeks van onafhankele eenparige bewegingen, waarmee de experimentele data excellent kon worden gereproduceerd.
Ik vat even samen wat we gezien hebben:
- Pythagoras bouwt complexe klanken op uit simpele klanken en
- Complexe experimentele data over planeetbanen kunnen worden reproduceerd door de planeetbanen te beschouwen als een reeks van onafhankelijke eenparige cirkelbewegingen.
Met andere woorden: dit zijn twee voorbeelden van intuitieve proto-spectrale analyses.
In nummer 3 van deze serie, over de Franse wetenschapper Fourier, en de naar hem vernoemde revolutionaire signaalanalysemethode, de Fourier-analyse, komen we hier uitvoerig op terug. Maar eerst moeten we iets uitvoeriger naar patronen in de snaren kijken.
Marco de Baar
Active Science 