De continuiteit van het fysische denken (2): Epicycles today

Ptolomeus introduceerde epicycles, een serie onafhankelijke cirkelbewegingen, om het complexe, experimenteel waargenomen, gedrag van planeetbanen te reproduceren. Dat werkte perfect, maar het deed ook een beetje onnatuurlijk aan … Ik kan me voorstellen de volgende vragen opkomen:

  1. Is de epicycle een oplossing die alleen toegepast wordt voor de beschrijving van de beweging van de hemellichamen? En zo nee, welke andere systemen kunnen met epicycles beschreven worden?
  2. Is deze beschrijving een slimmigheidje om de data te reproduceren en een methode om het probleem eenvoudig te maken?
  3. Of zijn er fysische systemen die zich echt als epicycles gedragen?
  4. Zijn er systemen die je niet zonder epicycles zou kunnen oplossen?

Voordat we aan de algemene beantwoording van die vragen komen, leek het me leuk om te laten zien hoe epicycles gebruikt kunnen worden in complexe vragen, of dat ze zelfs essentieel zijn voor het begrip. Laat ik beginnen met een voorbeeld waarin epicycles de beantwoording van de vraag veel makkelijker maken. Voor dit voorbeeld, willen we de baan van een fietswielventieldopje beschrijven. De fiets rijdt rechtuit, met constante snelheid (dat is de eenparige rechtlijnige beweging, weet u nog?). Dat betekent dat het wiel met een constante frequentie ronddraait (dat is de eenparige cirkelbeweging, weet u nog?). De situatie is geschetst in fig. 1.

Fig. 1. Baan van het punt x,y op het wiel. M.b.v. van de epicycle beschrijving, waarbij de baan wordt ontbonden in een eenparige horizontale beweging en een eenparige cirkelbeweging, zijn de vergelijkingen zo op te schrijven.

De beweging van het ventieldopje is nogal complex. Gelukkig kunnen we de beweging samenstellen uit twee hoofdcomponenten: een eenparige rechtlijnige beweging en de epicycle die daar bij opgeteld (gesuperponeerd) wordt.

De as van het wiel beweegt in een rechte lijn in x-richting.  De beweging van de as kan dus in vectornotatie worden geschreven als een eenparige beweging, x= vt en y = R, waarbij R de straal van het wiel is, en v de eenparige snelheid van de as.

Het wiel beschrijft een cirkelbeweging rond de as. De beweging ten opzichte van de as kan worden beschreven als een eenparig cirkelbeweging, x = Rcos2πft en y = Rsin2πft. f is het aantal keren dat het wiel per seconde een volledige omwenteling met lengte L = 2πR maakt.

De eenparige rechtlijninge beweging en de eenparige cirkelbeweging kunnen nu bij elkaar worden opgeteld:

x = vt + Rcos2πft en y = R ( 1 + sin2πft).

We moeten nu alleen nog het verband tussen f en v bepalen. Dat kan heel eenvoudig. De draaifrequentie f van het wiel bepaalt de namelijk assnelheid v. Per seconde legt het wiel een afstand L = 2πRf  af, en de snelheid is dus v = 2πRf [m/s]. Door deze identiteit te substitueren in de vergelijkingen krijgen we de vergelijkingen die de baan van het ventieldopje beschrijven, x = R(2πft + cos2πft) en y = R ( 1 + sin2πft).

Ik heb de baan in Fig.1 met het handje geschetst. Zo’n baan wordt een cycloïde genoemd. U kunt me makkelijk controleren door de relaties voor x en y in een spreadsheetje kloppen, en de baan x(t),y(t) tekenen. Kijk eens kritisch naar mijn schets… Wat klopt er allemaal niet aan? Hoe groot moet de afstand tussen twee scherpe punten zijn?

Een verband tussen v en f komt vaak voor, maar zeker niet altijd.

Een andere famillie van cycloiden ontstaat door de interactie van geladen deeltjes en magneetvelden. In deeltjesversnellers (zoals bij CERN) en in kernfusiereactoren (zoals bij JET) worden geladen deeltjes met behulp van magneetvelden opgeslagen. Het mechanisme dat daarvoor gebruikt wordt, is de Lorentzkracht. Als gevolg van de Lorentzkracht beschrijven deeltjes een cirkelbeweging loodrecht op het magneetveld. De gyratiefrequentie bedraagt f= eB/m, met e de lading van het deeltje, B de sterkte van het locale magneetveld, en m de massa van het deeltje. De beweging parallel aan het magneetveld is volledig vrij, er is geen verband tussen v en f. In Fig. 2 wordt geschetst hoe deeltjes gevangen worden in constante magneetvelden.

Fig.2. Met behulp van de Lorentzkracht opgesloten deeltje. Het deeltje is gebonden in de richting loodrecht op het magneetveld B, en vrij om parallel te bewegen aan B.

Een ander voorbeeld is de magnetische paraplu die de aarde voor ons opsteekt om ons te beschermen tegen een regenbui van energetische kosmische deeltjes. Het aardmagnetisch veld bindt de geladen kosmische deeltjes door ze te laten gyreren (net als in versnellers en fusiereactoren). Het verschil met het vorige voorbeeld is dat het magneetveld niet constant is. Als de deeltjes naar de polen bewegen, wordt het magneetveld sterker, en de gyratiefrequentie groter. Er is een koppeling via het magnetisch moment (ga ik niet uitleggen) waardoor de snelheid parallel aan het magneetveld kleiner wordt, tot het deeltje van richting omkeert. In fig.3 is de baan van zo’n bouncing deeltje geschetst.

De banen van bouncing deeltjes zijn zonder gyratie fysisch niet denkbaar. Met de epicycle-beschrijving en de eis dat het magnetisch moment behouden is, rolt bouncing direct uit de vergelijkingen.

Fig.3 Epicycles van energetische kosmische deeltjes die gevangen zitten in het aardmagnetisch veld. Als de deeltjes naar de polen bewegen neemt hun frequentie toe, en hun parallele snelheid af. De deeltjes keren uiteindelijk van richting om en ‘bouncen.’

Dus, samenvattend, de epicylce methode is krachtig, en kan nog steeds zinvol worden ingezet voor de beschrijving van een groot aantal systemen. In sommige gevallen is dat een slimmigheidje, in andere gevallen is het een noodzakelijkheid.

Advertisements

Over Marco de Baar

http://de.linkedin.com/pub/marco-de-baar/5/141/b33
Dit bericht werd geplaatst in Reflectie en getagged met . Maak dit favoriet permalink.

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s